Айбек Базарбаев родился в Бишкеке (Киргизия).
В 2010 году окончил Бишкекское хореографическое училище им. Ч. Базарбаева. В 2012 году — Академию русского балета им. А.Я. Вагановой по специальности «артист балета» (класс Андрея Анатольевича Ермоленкова). Работал в Кыргызском национальном академическом театре оперы и балета им. А. Малдыбаева, Московской балетной труппе В. Смирнова–Голованова.
С 2013 года — артист балетной труппы Государственного Приморского театра оперы и балета.
С 2016 года работает в составе балетной труппы Приморской сцены Мариинского театра.
Репертуар на Приморской сцене Мариинского театра:
«Лебединое озеро» (вальс, испанский танец, венгерский танец) — хореография Мариуса Петипа и Льва Иванова в редакции Константина Сергеева;
«Жизель» (Ганс, крестьяне, придворные, сокола) — хореография Жана Коралли, Жюля Перро, Мариуса Петипа;
«Щелкунчик» (Мышиный король, китайский танец, испанский танец, родители) — хореография Эльдара Алиева;
«Спящая красавица» (Серый волк, вальс, мазурка, придворные кавалеры, свита Феи Карабос) — хореография Мариуса Петипа в редакции Константина Сергеева, Эльдара Алиева;
«Тысяча и одна ночь» (лучники, базар, разбойники) — хореография Эльдара Алиева;
«Баядерка» (факиры, индусский танец) — хореография Мариуса Петипа, в редакции Владимира Пономарёва и Вахтанга Чабукиани;
«Дон Кихот» (Санчо Панса, сегидилья, цыгане) — хореография Александра Горского;
«Конёк-Горбунок» (народ);
«Корсар» (корсары, Форбан) — хореография Эльдара Алиева с использованием фрагментов хореографии Мариуса Петипа;
«Раймонда» (Али, сарацинский танец) — хореография Мариуса Петипа в редакции Константина Сергеева, Эльдара Алиева;
«Жар-птица» (влюблённые, Кащеево царство) — хореография Эльдара Алиева;
«Кармен-сюита» (мужчины) — хореография Альберто Алонсо;
«Блудный сын» — хореография Джорджа Баланчина;
«Дафнис и Хлоя» (пастухи) — хореография Дмитрия Пимонова;
«Бемби» (охотники), «В джунглях» (люди) — хореография Антона Пимонова.
Номера концертной программы:
Grand pas из балета «Раймонда» (четвёрка солистов) — хореография Мариуса Петипа и Константина Сергеева в редакции Эльдара Алиева;
«Вдохновение» (четвёрка солистов) — хореография Эльдара Алиева.
Также в репертуаре:
«Призрачный бал» (2-й дуэт) — хореография Дмитрия Брянцева;
«Вальпургиева ночь» (Четвёрка сатиров) — хореография Касьяна Голейзовского.
