Иван Бессонов родился в Санкт-Петербурге. Окончил Центральную музыкальную школу при Московской государственной консерватории им. П.И. Чайковского (класс Валерия Пясецкого). В настоящее время обучается в Московской консерватории (класс того же педагога).
Лауреат Международного юношеского конкурса им. Ф. Шопена (Санкт-Петербург, 2015), Международного конкурса им. А.Г. Рубинштейна «Миниатюра в русской музыке» (Санкт-Петербург, 2016; I премия), Международного конкурса молодых пианистов Grand Piano Competition (Москва, 2016 и 2018), Международного конкурса юных пианистов Astana Piano Passion (2017; I премия), Конкурса молодых музыкантов «Евровидение» (Эдинбург, 2018), Всероссийского конкурса молодых музыкантов «Созвездие» (Сочи, 2020; Гран-при), Международного конкурса пианистов, композиторов и дирижёров им. С.В. Рахманинова (Москва, 2022; I премия и золотая медаль). Обладатель Международной профессиональной музыкальной премии BraVo в номинации «Открытие года» (Москва, 2019) и Российской национальной музыкальной премии «Виктория» (Москва, 2021).
Выступал с сольными концертами в Мариинском театре (в 2016 году на фестивале «Лики современного пианизма» исполнил сочинения Моцарта, Шопена, Чайковского, Прокофьева и собственное произведение «Синематограф», в 2018-м на Приморской сцене — сочинения Шопена, Баха и Шумана), Московском международном доме музыки, Большом зале Санкт-Петербургской филармонии, играл вместе с Государственным академическим симфоническим оркестром России им. Е.Ф. Светланова, симфоническими оркестрами Мариинского театра и Государственной академической капеллы Санкт-Петербурга, Государственным академическим симфоническим оркестром Республики Татарстан, Национальным филармоническим оркестром России, Новосибирским академическим симфоническим оркестром, Государственным симфоническим оркестром «Новая Россия» и другими коллективами — под управлением таких дирижёров, как Валерий Гергиев, Владимир Спиваков, Владимир Федосеев, Ян Латам-Кёниг, Александр Сладковский.
В 2015 году дебютировал в кино как профессиональный композитор, создав музыку к документальной короткометражной кинокартине Виктора Косаковского «Ветрянка».
