Михаил Пирогов учился в Санкт-Петербургской государственной консерватории имени Н.А. Римского-Корсакова в классе народного артиста России Юрия Марусина. В 2010 году артист был принят в оперную труппу Бурятского академического театра оперы и балета имени Г.Ц. Цыдынжапова.
В 2011 году Михаил Пирогов стал солистом Саратовского академического театра оперы и балета, а в 2014-м вернулся в Бурятию. В 2018 году артист присоединился к труппе Красноярского театра оперы и балета имени Д.А. Хворостовского, с 2021 года выступает в качестве ведущего солиста НОВАТа.
В 2022 году Михаил Пирогов дебютировал на сцене Большого театра. В том же году получил Высшую национальную театральную премию «Золотая Маска» в номинации «Лучшая мужская роль в опере» за исполнение партии Соловья Будимировича в «Богатырях» А.П. Бородина (постановка Красноярского театра оперы и балета имени Д.А. Хворостовского).
В 2023 году Михаил Пирогов присоединился к труппе Михайловского театра. Критики отмечают редкий, глубокий тембр певца: «Насыщенный, тёплый тенор Михаила Пирогова звучит проникновенно как в многолюдных и экспрессивных сценах, так и в самых нежных, интимных лирических моментах».
Артист является приглашённым солистом Мариинского театра и Московского театра «Новая Опера» имени Е.В. Колобова.