Алексей Мельников родился в Москве в 1990 году. В 1996 году поступил в Среднюю специальную музыкальную школу им. Гнесиных (класс Татьяны Шкловской). Во время обучения принимал участие во множестве конкурсов, в числе которых Международный конкурс им. Карла Черни в Праге (II премия).
В 2008–2013 годах обучался в Московской государственной консерватории им. П.И. Чайковского под руководством Сергея Доренского и его ассистентов Николая Луганского, Павла Нерсесьяна и Андрея Писарева.
Лауреат Международного конкурса памяти Веры Лотар-Шевченко в Новосибирске (2011, II премия), Международного конкурса исполнителей фортепианных концертов в Канту (Италия, I премия), Международного конкурса пианистов в Сан-Марино (2014, I премия, приз зрительских симпатий, приз критиков и приз оркестра) и Международного конкурса пианистов в Хамамацу (2015, III премия).
Выступал с оркестрами Белгородской государственной филармонии и Томской областной государственной филармонии, с Камерным оркестром Новгородской областной филармонии, камерным оркестром «Виртуозы Праги», Филармоническим оркестром Бакэу, Симфоническим оркестром Сан-Марино, Токийским симфоническим оркестром. Давал сольные концерты в городах России, Германии, Италии, Франции и Японии. Выступал в зале Корто в Париже, центре исполнительских искусств Бунка Кайкан в Токио, дворце Жофин в Праге, театре Ла Фениче в Венеции, Большом зале Московской консерватории.
Принимал участие в Международном фестивале камерной музыки в Черво (Италия), фестивале Animato в Париже, Международном фестивале фортепианной музыки в Триесте, фестивалях романтической музыки и им. Генриха Нейгауза в Москве.
