Евгений Быстров родился в Екатеринбурге.
В 2008 году окончил Уральскую специальную музыкальную школу по классу контрабаса В.Н. Быстрова. В 2013 году окончил Уральскую государственную консерваторию имени М.П. Мусоргского (класс преподавателя Д.Г. Усанова).
В 2008–2011 годах — артист Уральского молодёжного симфонического оркестра. В 2012 году начал вести педагогическую деятельность в Уральской специальной музыкальной школе. В 2011–2015 годах работал артистом Уральского академического филармонического оркестра.
В 2015 году — артист симфонического оркестра Приморского театра оперы и балета. С 2016 года — заместитель концертмейстера группы контрабасов Симфонического оркестра Приморской сцены Мариинского театра.
В 2017 году был приглашён концертмейстером на гастроли в составе оркестра Sichuan Symphony Orchestra в Сингапур.
С 2021 года по настоящее время является преподавателем по классу контрабаса в Дальневосточном государственном институте искусств. С 2021 года работает заведующим кафедрой оркестровых струнных инструментов и преподавателем игры на контрабасе в Филиале ЦМШ-АИИ «Приморский».
