Начала играть на виолончели в восьмилетнем возрасте и, даже не закончив средней школы, была допущена к обучению в Корейском национальном университете искусств (Сеул), где училась у Мён Хва Чон и Хён Вон Чанг. После переезда в Германию в 2007 году Сон Мин Кан обучалась в Высшей школе музыки им. Г. Эйслера в Берлине у Давида Герингаса и Трольса Сване.
Обладательница первых премий многих корейских конкурсов, она также имеет высшие награды международного уровня: Первую премию Международного конкурса виолончелистов им. Гаспара Касадо (Токио, 2006), Специальный приз Конкурса виолончелистов им. М. Ростроповича (Париж, 2009). В 2015 году стала лауреатом XV Международного конкурса им. П.И. Чайковского.
Сон Мин Кан активно концертирует как солист с оркестрами по городам Кореи, а также в Соединенных Штатах, Германии, Монако, Литве и Японии.
