Окончил Новосибирскую консерваторию по классу скрипки. Будучи студентом консерватории, играл в Новосибирском академическом симфоническом оркестре под управлением Арнольда Каца. В 1969–1973 годах был солистом Кемеровской государственной филармонии.
В 1973 году стал артистом Госоркестра СССР под управлением Евгения Светланова. Под влиянием искусства Светланова Александр Слуцкий занялся дирижированием. Закончил Восточно-Сибирскую государственную академию культуры и искусств по классу оперно-сифонического дирижирования. Пройдя мастер-класс финского дирижёра Йормы Панулы, он стал сотрудничать с несколькими московскими оркестрами в качестве приглашённого дирижёра, работал дирижёром Московского симфонического оркестра, оркестра «Молодая Россия», камерного оркестра «Кремлин», и с 2003 являлся дирижёром Государственного академического симфонического оркестра России имени Е.Ф. Светланова. Александр Слуцкий также руководил концертами абонемента Московской филармонии «Молодые таланты».
Большое внимание Александр Львович Слуцкий уделяет творчеству современных композиторов, исполнение произведений которых удостоилось благодарности Т. Хренникова, Р. Щедрина, А. Эшпая, а также сотрудничеству с молодыми музыкантами, выступая с ними в рамках абонемента «Молодые таланты» Московской филармонии.
В 2004 г. Александру Слуцкому присвоено звание «Заслуженный артист Российской Федерации». Награждён Медалью святого благоверного князя Даниила Московского (2008) и Медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» (2012).
В качестве дирижёра гастролировал в США, Испании, Великобритании, Турции и странах СНГ.
