Алексей Тюков родился в семье известных российских фигуристов. В десятилетнем возрасте он входил в состав сборной СССР по фигурному катанию и получил звание кандидата в мастера спорта. В 1995 году Алексей с отличием окончил Пермское государственное хореографическое училище и в том же году выступал в труппе Пермского театра оперы и балета.
В 1999 году он стал обладателем золотой медали в старшей (мужской) группе конкурса артистов балета «Арабеск» в Перми и был удостоен приза имени Михаила Арнопольского как самый талантливый участник конкурса. В 1999 году был премьером балетной труппы Ballet Internationale Indianapolis, где исполнял ведущие партии в балетах «Федра», «Сотворение мира», «Щелкунчик», «Спящая красавица», «Жар-птица», «Кармен», «Тысяча и одна ночь», «Корсар», «Неаполь», «Баядерка», «Раймонда» и «Интерзона». Выступал по всему миру, в том числе на Тайване, в Китае, Канаде, Германии, Франции, Северной Америке, Южной Корее, Японии и многих других странах.
В 2006 году стал премьером труппы «Балет Цинциннати», где исполнял классические и современные хореографические номера, включая «План Б» Йормы Эло, «Мост» Вэла Канипароли и «Чёртову дюжину» Твайлы Тарп. Алексей также участвовал в многочисленных гала-концертах, включая Гала-концерт звёзд мирового балета в Монреале, «Звёзды XXI века» в Париже, «Звёзды Мариинского театра» в Германии и Международный гала-концерт в Южной Корее.
Издание «Нью-Йорк таймс» так отзывалось о Тюкове: «В „Лебедином озере“ Алексей Тюков покорил сердце не только Одетты, но и зрителей своим выразительным образом слишком человечного Зигфрида».
В 2016 году Алексей был приглашён выступить на I Международном Дальневосточном фестивале «Мариинский», где он выходил на Приморскую сцену в балетах «Лебединое озеро» и «Корсар».
В 2007 году стал премьером труппы «Балет Колорадо». Танцевал в балетах «Корсар», «Спящая красавица», «Золушка», «Лебединое озеро», «Ромео и Джульетта», «Дон Кихот», «Весна священная», «Дракула», «Питер Пэн», «Алиса в Стране чудес», «Сон в летнюю ночь», «Жизель» и во многих других постановках. В 2017 году, завершив карьеру танцовщика, он основал и возглавил Академию балета «Роки-Маунтин». Под его руководством Академию балета «Роки-Маунтин» в течение восьми лет подряд признавали лучшей балетной школой штата Колорадо с выдающимся преподавательским составом на крупнейшем в мире балетном конкурсе «Молодёжный Гран-при Америки» (YAGP). Студенты Академии получали высшие награды в финалах таких конкурсов, как Universal Ballet Competition (UBC), YAGP и ADC IBC.
С июля 2025 года — педагог (репетитор) балетной труппы Приморской сцены Мариинского театра.
