Андрей Шичко родился в Бобруйске (Беларусь). В 2013 году окончил Республиканский музыкальный колледж в Минске (класс педагога Натальи Тащилиной). В 2014 году учился в Белорусской государственной академии музыки у Натальи Тащилиной. В 2014–2018 годах обучался в Московской государственной консерватории им. П.И. Чайковского в классе профессора, народного артиста России Михаила Воскресенского. С 2018 по 2020 год — ассистент-стажёр Московской консерватории им. П.И. Чайковского, также под руководством Михаила Воскресенского.
Выступал сольно и с оркестрами в России, Беларуси, Японии, Германии, Франции, Голландии. Являлся концертмейстером хоровой капеллы Российского университета транспорта (МИИТ) и хора Центрального дома учёных.
Обладатель гранта специального фонда Президента Республики Беларусь по поддержке талантливой молодёжи (2007, 2010, 2014). В декабре 2015 года принимал участие в международном фестивале «Лики современного пианизма» в Мариинском театре (Санкт-Петербург, Россия).
С июля 2023 года — концертмейстер балетной труппы Приморской сцены Мариинского театра.