Алексей Мелкозёров родился в городе Краснотурьинск.
В 2024 году окончил Уральский хореографический колледж (класс Наиля Магсумовича Гимадеева).
В 2023 году принимал участие в образовательной программе «Сириус» и в фестивале «Малый Нуреевский».
В 2024–2025 годах — артист балета Екатеринбургского государственного академического театра оперы и балета.
С июля 2025 года — артист балетной труппы Приморской сцены Мариинского театра.
Репертуар на Приморской сцене Мариинского театра:
«Лебединое озеро» (испанский танец) — хореография Льва Иванова и Мариуса Петипа;
«Баядерка» (Grand pas) — хореография Мариуса Петипа в редакции Владимира Пономарёва и Вахтанга Чабукиани;
«Раймонда» (Grand pas) — хореография Мариуса Петипа в редакции Константина Сергеева, Эльдара Алиева;
«Тысяча и одна ночь» (палачи) — хореография Эльдара Алиева.
